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Martin Goldstern's Algebra, WS 2009 PDF

By Martin Goldstern

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4 Oft schreibt man die Allquantoren nicht explizit an; statt ∀x ∀y (xy = yx) oder ∀x (x ∗ x−1 = e) schreibt man also k¨ urzer xy = yx bzw x ∗ x−1 = e, auch wenn man das allgemeine Gesetz und keine konkrete Instanz meint. 5 englisch: equationally defined class 52 Beweis. Man rechnet leicht nach, dass alle Gesetze, die in A gelten, erst recht“ in Unter” algebren und in homomorphen Bildern gelten. Die G¨ ultigkeit von Gesetzen in einem direkten Produkt rechnet man komponentenweise nach. Da jede aufsteigende Vereinigung von Algebren homomorphes Bild einer Unteralgebra des direkten Produkts dieser Algebren ist, u ultigkeit von Gesetzen auch ¨bertr¨agt sich die G¨ auf aufsteigende Vereinigungen.

Die hierbei verwendete Beziehung a1 b1 + · · · + an bn = (a1 + · · · + an )(b1 + · · · + bn ) folgt aus II) und III): F¨ ur i < j ist ai bj ∈ Ui (wegen Ui ⊳ R) und ai bj ∈ Uj (wegen Uj ⊳ R), d. , ai bj ∈ (U1 + · · · + Uj−1 ) ∩ Uj = {0}, woraus ai bj = 0 folgt. Analog erh¨alt man ai bj = 0 f¨ ur i > j. 4 Aufsteigende Vereinigungen und direkter Limes Wir betrachten in diesem Abschnitt nur nichtleere11 Algebren eines festen Typs. Um die Notation zu vereinfachen, betrachten wir hier nur Algebren (A, +, ′ , c) vom Typ (2, 1, 0) (aber ¨ die Definitionen und Uberlegungen lassen sich in offensichtlicher Weise verallgemeinern).

Jeder K¨ orper hat nur die trivialen Ideale. Beweis. Sei I Ideal des K¨ orpers (K, +, 0, −, ·, 1) und I = {0}. Dann gibt es x ∈ I mit x = 0 −1 −1 und wegen 1 = x x ∈ x I ⊆ I ist I = K. 46 Satz. Sei (R, +, 0, −, ·, 1) ein kommutativer Ring mit Einselement, der nur die trivialen Ideale besitzt. Dann ist R ein K¨ orper oder R = {0}. Beweis. x ∈ R, x = 0 ⇒ xR = {xr | r ∈ R} ist ein Ideal von R (analog zu Z) mit x = x1 ∈ xR ⇒ xR = {0} ⇒ xR = R ⇒ ∃r ∈ R : 1 = xr ⇒ x besitzt ein Inverses. 47 Folgerung.

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Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern


by Jeff
4.2

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